По-умолчанию Thunderbird проверяет новую почту только во входящих.
Подробности: http://kb.mozillazine.org/How_do_I_check_for_new_messages_in_other_folders#IMAP
Для проверки во всех папках и аккаунтах подправим немного параметры птички:
Входим в "Настройки" -> "Дополнительные" -> "Основные" -> "Редактор настроек..."
и выставляем параметрmail.server.default.check_all_folders_for_new в true
Подробности: http://kb.mozillazine.org/How_do_I_check_for_new_messages_in_other_folders#IMAP